Jean François Joseph Birot est né à Lyon le 1er février 1849, 6 rue du Peuple (act. rue de Condé), fils de Joseph Bruno Aimé Birot (Carcassonne 13 janvier 1813-Régnié-Durette [Rhône] 3 août 1873) – contrôleur principal des contributions directes à Lyon en 1834, avant d’être inspecteur à Colmar, puis à Montpellier – et d’Anne Marie Zélie Ronchaud (Tenay [Ain] 16 octobre 1830-Régnié-Durette 7 octobre 1885), fille d’Antoine Marguerite dit Émile Ronchaud (Gannat [Allier] 1795-Tenay 1834) – industriel (Usines Dobler et Ronchaud), maire de Tenay, terrassé par le choléra – et de Françoise Émilie Wable, belle-sœur de Jean François Legendre-Héral*. Témoins à la déclaration : Antoine Sauvant, chef du bureau de l’état civil de la mairie, et Pierre Rochat, sous-chef du même bureau.
Il fait des études de médecine à Montpellier. En 1874, sa thèse, sur les albumines pathologiques, est couronnée par la faculté. Il s’installe comme praticien en 1876 à Lyon, où il sera membre de la Société des sciences médicales et secrétaire de l’association des médecins du Rhône.
Alors qu’il réside avec sa mère 28 rue de la Reine (act. rue Franklin), Joseph Birot épouse le 16 mai 1876, à Lyon 1er, Marie Émilie Dubost (Lyon 1er 16 mai 1856-Lyon 7 janvier 1878) – fille de Laurent Marie Dubost (1824-1914), négociant, et d’Anne Magdeleine dite Anaïs Phélip (1829-1900) –, dont il a une fille, Marie Aimée (1877-1954), qui sera l’épouse de Maurice Cuq, commissaire général de la Marine. Veuf deux ans après ce mariage, J. Birot se remarie à Lyon le 15 octobre 1892 avec Élisabeth de Cailleux (Nantes 1860-Lyon 1952), fille de Victor de Cailleux (1814-1869) et de Nicole Ansel (1822-1869) ; d’où trois enfants : Émile, Amédée, et Madeleine, épouse d’Édouard Poncet.
Passionné pour l’archéologie religieuse, il est membre de la Société française d’archéologie, correspondant de la Société des antiquaires de France depuis le 5 avril 1905. Il est membre de la Société littéraire, historique et archéologique de Lyon depuis 1903 ; il y fait une communication le 24 avril 1912 sur une excursion archéologique aux anciens prieurés de Manthes (Drôme) et à l’abbaye de Saint-Antoine de Viennois, et le 22 mai 1912 sur la fête du cinquantenaire de la Diana, célébrée à Montbrison le 20 mai.
Il meurt le 20 août 1919 à Sainte-Foy-lès-Lyon, 3 chemin de Perrière ; il est inhumé le 23 à Loyasse, après une cérémonie à Ainay.
Le docteur Birot se porte candidat le 14 janvier 1908, et présente Les sculptures de l’église d’Ainay le 4 février. Vachez* fait son rapport sur cette candidature, une première fois le 26 mai 1908, puis, la séance d’élection du 2 juin ayant été reportée faute de quorum, une seconde fois le 22 novembre 1908. Birot est élu comme archéologue le 1er décembre 1908 au fauteuil 4, section 2 Lettres. Il expose La biographie de Claude Marie Primat, évêque constitutionnel de Lyon (26 janvier et 9 février 1909) ; Les origines de l’abbaye d’Ainay (29 juin et 20 juillet 1909). Son discours de réception le 15 mars 1910 donne La biographie du sculpteur Legendre-Héral*. Le 25 novembre 1913, il fait le rapport sur la candidature de Mgr Lavallée*. Le 13 et le 20 avril 1915 il présente La biographie de Jean Baptiste Willermoz* ; puis le 21 mars 1916, Un album de chromolithographies de miniatures des rouleaux d’Exultet, édité au Mont Cassin en 1899 ; enfin, le 4 juillet 1917, il retrace l’histoire du buste de Benivieni qui figure dans les collections de l’académie. Celle-ci a retenu l’intérêt de son Étude de l’autel de l’église d’Avenas publiée en 1907, de son Étude du cimetière installé par les hospices de Lyon en 1696 sur le terrain de la maladrerie de la Madeleine à la Guillotière, de son Inventaire des livres d’heures de la primatiale de Lyon en 1908, de sa Découverte dans le trésor de cette primatiale du missel de l’évêque de Dol, Thomas James, de ses Recherches sur l’église d’Ainay.
Observation de diabète sucré, Montpellier : Boehm, 1874, 41 p. 1pl. – Essai sur les albumines pathologiques, thèse méd., Montpellier : Coulet, 1874, 115 p. – Notice sur la collection de livres d’heures conservée au trésor de la primatiale de Lyon, Paris : Impr. nation., 1903, 12 p., extr. du Bull. Hist. et Philo. – Avec Berteaux, « Le missel de Thomas James, évêque de Dol », Rev. Art ancien et moderne 7 et 8, 1906, t. XX. – « Étude de l’autel de l’église d’Avenas », 66e Congr. Soc. Antiquaires France, 1907. – « Les chapiteaux des pilastres de Saint-Martin d’Ainay à Lyon », Soc. Française Archéol. : Congr. Archéol. France 74, 1907, p. 527-536. – Ancien cimetière des hospices de Lyon, dit cimetière de la Madeleine : 1695-1866, Lyon : Vitte, 1907, Bull. Hist. Diocèse Lyon, mars 1907. – L’autel de l’église d’Avenas (Rhône), Paris, 1907, 15 p. – J. B. Martin, Histoire des églises et chapelles de Lyon, avec la collaboration de […] J. Birot…, 2 vol., Lyon : Lardanchet, 1908. – Claude François Marie Primat 1746-1816, évêque constitutionnel de Cambrai, puis de Lyon, archevêque concordataire de Toulouse, Lyon : Lardanchet, 1909, 164 p., 3 pl. – Legendre-Héral, sculpteur lyonnais, 1796-1851, discours de réception, Lyon : Rey, 1910, 52 p. et MEM 11,1911. – « La cathédrale de Lyon », Bull. Monum. Soc. française Archéol. 76, 1912, p. 616-619. – Avec J-B. Martin, Trois manuscrits de l’église primatiale de St Jean de Lyon intéressant le Velay ou les régions voisines, Le Puy en Velay : Rouchon, 1914, 20 p., extr. du Bull. Hist. Soc. Sci. Agric. Haute-Loire. – Avec J-B. Martin, Le missel de la Sainte Chapelle de Paris, conservé au trésor de la primatiale de Lyon, Paris : Leroux, 1915, 29 p., extr. Rev. Archéol. 2, 1915, p.37-65. – André Chagny* avec le précieux concours des manuscrits et documents laissés par le docteur Joseph Birot, La basilique Saint-Martin d’Ainay et ses annexes : étude historique et archéologique, Lyon : Masson, 1935, XV+382 p.