Jean Claude Bouquet est né le 7 septembre 1819 à Morteau (Doubs), fils de Pierre François Bouquet, cultivateur, et de Jeanne Adélaïde Brun. Le 6 juillet 1847, il épouse à Lyon Étiennette Claudine Villard (Lyon 18 novembre 1825-1899), fille de Pierre Joseph Philippe Villard (décédé à Lyon le 24 mai 1845) et d’Étiennette Chantre. Il meurt à Paris le 9 septembre 1885. Après des obsèques à Saint-François-Xavier, il est inhumé au cimetière Montparnasse.
Au lycée de Lyon, il obtient les baccalauréats ès lettres et ès sciences. Il entre à l’École normale supérieure le 26 octobre 1839 où il passe les licences de mathématiques et physique, puis l’agrégation de mathématiques (1842). Il est alors nommé professeur de mathématiques élémentaires à Marseille en octobre 1842, puis professeur de mathématiques pures à la faculté des sciences de Lyon en octobre 1845. Il est nommé en octobre 1852 professeur de mathématiques spéciales au lycée Bonaparte à Paris (actuel lycée Condorcet), en mars 1855 ; professeur suppléant de Serret à la faculté des sciences de Paris (pendant le 2e semestre 1855-1856, puis 2e semestre de 1865, puis à partir du 1er juin 1874) ; professeur au lycée Louis-le-Grand en octobre 1858 ; professeur suppléant de Le Verrier à la faculté des sciences de Paris (novembre 1866-1869) ; maître de conférences de géométrie descriptive et de calcul différentiel et intégral à l’École normale supérieure le 31 octobre 1868 en remplacement de Puiseux ; d’abord professeur suppléant de Delaunay à la faculté des sciences de Paris pour le 2e semestre 1869-1870, il est nommé à sa place après son décès, professeur de mécanique physique et expérimentale le 19 décembre 1872 ; nommé professeur suppléant de Serret le 1er juin 1874 dans la chaire de calcul différentiel et intégral de la faculté des sciences de Paris, jusqu’en 1883 ; professeur de mécanique physique et expérimentale à la faculté des sciences de Paris de 1883 à 1885. Excellent professeur, comme son ami Charles Briot*, qu’il a connu à l’École normale supérieure et retrouvé à Lyon puis à Paris, il écrit avec lui plusieurs ouvrages d’enseignement, et oriente comme lui ses recherches vers la théorie des fonctions elliptiques. Sa thèse pour le doctorat ès sciences mathématiques, soutenue le 21 août 1843, porte « Sur la variation des intégrales doubles». Il est élu le 19 avril 1875 membre de la section de géométrie de l’Académie des sciences.
Chevalier de la Légion d’honneur le 13 août 1858 et officier le 31 décembre 1884 (LH/321/15).
Membre de la société philomatique de Paris le 14 mars 1857. Associé correspondant de l’académie des sciences, belles-lettres et arts de Besançon le 25 août 1873.
Le 26 janvier 1847, Claude Jourdan* dépose sur le bureau deux thèses soutenues l’une par Charles Auguste Briot, l’autre par Jean Claude Bouquet, tous deux professeurs à la faculté des sciences. Sur sa demande de les inscrire sur la liste des candidats à la titularisation, une commission est formée de Tabareau*, Jourdan et Pravaz*. Sur rapport lu par Tabareau, les deux candidatures sont admises (Ac.Ms279-II pièce 70 : Rapport sur les candidatures de MM. Briot Bouquet, 24 août 1847). Briot est élu le 7 décembre 1847, et Bouquet le 20 juin 1848 au fauteuil 9, section 1 Sciences. Le 12 décembre, il « présente un mémoire sur les propriétés des systèmes de droites dont chacune correspond à un point déterminé de l’espace. Ce mémoire qui n’est pas destiné à être lu en séance est renvoyé à la commission de publication ». Le 11 décembre, il donne communication de son discours de réception traitant de L’influence de l’analyse sur l’astronomie moderne, lu ensuite en séance publique le 22 janvier 1850.
Halphen : notice sur Bouquet, CRAS, 7 juin 1886. – Jules Tannery, « Éloge de Bouquet, prononcé à l’assemblée générale des normaliens du 10 janvier 1886 », Mémorial Assoc. Anciens Élèves ENS, Paris, 1885. – Jean Itard, « Bouquet Jean-Claude », in Gillespie Dictionary of scientific biography.
« Sur la résolution des équations numériques », CRAS 12, 1841, p. 128. – Sur la variation des intégrales doubles, thèse, Paris : Bachelier, 1843, 13 p. – « Remarques sur les systèmes de droites dans l’espace », JMAP 11, p. 125-128, 1846. – « Sur les surfaces orthogonales », JMAP 11, p. 446-450, 1846. – « Sur les propriétés d’un système de droites dont chacune correspond à un point déterminé de l’espace », MEM S 2, 1847. – Sur la courbure des surfaces, « Note insérée dans le Traité de la théorie des fonctions par M. Cournot, Paris : Hachette, 1857. Ce traité renferme aussi, en notes annexées, un extrait des mémoires publiés avec la collaboration de M. Briot* ». – « Théorie des équations : addition à un mémoire », CRAS 47, 1858, p.953. – « Sur la théorie des intégrales ultra-elliptiques », CRAS 67, 1868, p. 989-990. – « Sur l’intégration d’un système d’équations différentielles totales simultanées du 1er ordre », Bull. Sc. Math. Astr. 3, 1872. – « Sur le calcul des accélérations des divers ordres dans le mouvement d’un point sur une courbe gauche », Ann. Scientif. ENS Paris 3, 1874, p.147-750.
Avec Briot : Leçons de géométrie analytique, Paris, 1840, 559 p. – Leçons nouvelles de géométrie analytique précédées des éléments de la trigonométrie, Paris : Dezobry, 1847, XX + 439 p., 15 dépliants ; vingt-cinq éd. jusqu’en 1929, revues et annotées par Paul Appell à partir de la 13e éd., Paris : Delagrave, 1887, III + 714 p. – Leçons nouvelles de trigonométrie, Paris : Dezobry, Magdeleine, 1850, VIII + 135 p. – Leçons nouvelles de trigonométrie, rédigées conformément aux programmes de l’enseignement scientifique des Lycées, Paris : Dezobry, Magdeleine, 1858, 224 p. ; onze éd. jusqu’en 1896. – Complément de la géométrie analytique, Paris : Dunod, 1864, VIII + 296 p. – Analiticeskaia geometrija, trad. V. Sinkov, Saint Pétersbourg, Moscou, 1868, 506 p. – Briot and Bouquet’s elements of analytical geometry of two dimensions, Chicago 1896, 581 p., trad. James Harrington Boyd de la 14e édition. – « Recherches sur les séries ordonnées suivant les puissances croissante d’une variable imaginaire, CRAS 36, 1853, p. 264. – « Note sur le développement des fonctions en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de la variable », CRAS 36, 1853, p. 334-335. – « Recherches sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles », CRAS 39, 1854, p. 368-371. – « Recherches sur les fonctions doublement périodiques », CRAS 40, p. 342, 1855. – « Mémoire sur l’intégration des équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques », CRAS 41, 1855, p. 1229 ; rapport de Cauchy sur ce mémoire : CRAS 43, 1856, p. 27. – « Étude des fonctions d’une variable imaginaire », JEP 21, cahier XXXVI, p. 85-121, 1856. – « Intégration des équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques », ibid., p. 122-132. - « Recherches sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles », ibid., p. 133-198, 1856. – Étude des fonctions d’une variable imaginaire: premier mémoire, Paris : Bachelier, 1856, 254 p. – « Recherches sur la théorie des fonctions ; trois mémoires : Propriétés des fonctions d’une variable imaginaire. Étude des fonctions définies par des équations différentielles. Intégration des équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques », Paris : Mallet-Bachelier, extr. du Journ. École Polytech. 36e cahier, 170 p., 1856. – Théorie des fonctions doublement périodiques, et en particulier des fonctions elliptiques, Paris : Mallet-Bachelier, 1859, XXIV + 342 p. ; 2e éd Gauthier-Villars 1875, IV + 698 p.